Question

将一个正整数n表示为a 1 +a 2 +…+a p （p∈N * ）的形式，其中a i ∈N * ，i=1，2，…，p，

Answer 1

（Ⅰ）因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f（3）=3．

因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，

所以f（5）=7．

（Ⅱ）证明：因为n+1≥2，把n+1的一个表示法中a ₁=1的a ₁去掉，就可得到一个n的表示法；反之，在n的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个n+1的表示法，即n+1的表示法中a ₁=1的表示法种数等于n的表示法种数，

所以 f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a ₁≠1的表示法数．

即 f（n+1）-f（n）≥1．

（Ⅲ）结论是f（n+1） ≤

1

2 [f(n)+f(n+2)] ．

证明如下：由结论知，只需证 f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．

由（Ⅱ）知：f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a ₁≠1的表示法数，f（n+2）-f（n+1）是n+2的表示法中a ₁≠1的表示法数．

考虑到n+1≥2，把一个a ₁≠1的n+1的表示法中的a _p加上1，就可变为一个a ₁≠1的n+2的表示法，这样就构造了从a ₁≠1的n+1的表示法到a ₁≠1的n+2的表示法的一个对应，所以有f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．