Question

已知a,b,c均为有理数,且a+b+c=0,a^3+b^3+c^3=0,那么代数式a^2003+b^2003+c^200

Answer 1

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)

=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

a+b+c=0

所以(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0

所以a^3+b^3+c^3-3abc=0

a^3+b^3+c^3=0

所以3abc=0

即abc中至少有一个是0

不妨设a=0

则b+c=0,b=-c

所以原式=0^2003+(-c)^2003+c^2003=0-c^2003+c^2003=0