我认为楼上证得都不严密,既是证明,就不能在无形中借助图像,讨论判别式、对称轴之类.
证明：（充分性）即证：若a≤1,则关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根
分情况：若a=0,那么x=-1/2显然为方程的一个根,方程至少有一个负根
若0＜a≤1,那么注意x0=[-1-√(1-a)]/a,显然x0＜0,而x0²=[2-a+2√(1-a)]/a²,于是ax0²+2x0+1=0,故x0为方程的一个根,∴方程至少有一个负根
若a＜0,注意x0=[-1+√(1-a)]/a.∵a＜0,∴1-a＞1,∴√(1-a)＞1,-1+√(1-a)＞0,∴x0＜0.又易得ax0²+2x0+1=0,故x0为方程的一个根,∴方程至少有一个负根
充分性得证
（必要性）即证：若关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根,则a≤1
设x0为方程的一个负根,那么ax0²+2x0+1=0,∴a=(-2x0-1)/x0².注意到(x0+1)²=x0²+2x0+1≥0,∴x0²≥-2x0-1,即(-2x0-1)/x0²≤1,∴a≤1
必要性得证