Question

瑕积分的收敛问题~对于瑕积分,定义里说如果分成2个积分之和则必须2个积分都收敛才是收敛的,为什么不能一个趋于正无穷一个趋

Answer 1

你理解的形式实际是广义积分中瑕积分的【主值】（Cauchy）,通常记为:

V.p.∫[a,b] f(x) dx

然而对一般意义下的广义积分：

∫[0,2] 1/(x²-4x+3) dx

=∫[0,1] 1/(x-3)(x-1) dx + ∫[1,2] 1/(x-3)(x-1) dx

= lim(η1 ->0+)∫[0,1-η] 1/(x-3)(x-1) dx

+lim(η2 ->0+)∫[1+η,2] 1/(x-3)(x-1) dx

关键在于此两个互相独立极限中的 η1,η2 无法保证相等,

可以类比于二重极限自变量的取值 或 Cauchy中值定理证明的情形.