已知实数x.y满足x^2+y^2-4x-5=0,求:

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  • x^2+y^2-4x-5=0

    (x-2)²+y²=3²

    写成参数的形式是:

    x=2+3cosa

    y=3sina

    (y+6)/(x-5)的最大值

    该式的几何含义是圆上的点A与点P(5,-6)的连线的斜率

    设过点P的直线方程为y=k(x-5)-6

    写成一般式为kx-y-(5k+6)=0

    则当直线与圆相切时,圆心(2,0)到直线的距离等于半径

    |2k-0-(5k+6)|/根号(k²+1)=3

    |-3k-6|=3根号(k²+1)

    两边平方得

    9(k+2)²=9(k²+1)

    解得,k=-3/4

    显然,另一条切线的方程是x=5,斜率不存在

    所以k=-3(根号2)-2

    x^2+y^2的最大值

    x²+y²

    =(2+3cosa)²+(3sina)²

    =4+12cosa+9(cos²a+sin²a)

    =13+12cosa