Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC上一点．

Answer 1

解题思路：（1）利用三角形中位线的性质证明线线平行，再根据直线与平面平行的判定定理即可证明A₁C∥平面AB₁D．

（2）首先根据直线与平面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCC₁B₁，再利用直线与平面垂直的性质可得AD⊥BC．

证明：

（1）连接A₁B，设AB₁∩A₁B=E，

则E为A₁B 的中点，

连接DE，由D是BC的中点，

可得DE是△A₁BC的中位线．

∴DE∥A₁C，

又DE⊂平面AB₁D，且A₁C⊄平面AB₁D，

所以A₁C∥平面AB₁D．

（2）在平面BCC₁B₁中过点B作BF⊥B₁D，

∵平面AB₁D⊥平面BCC₁B₁，

平面AB₁D∩平面BCC₁B₁=B₁D，

∴BF⊥平面AB₁D，

又∵AD⊂平面AB₁D

∴BF⊥AD，

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

BB₁⊥平面ABC，

∴BB₁⊥AD，

又BB₁∩BF=B，

∴AD⊥平面BCC₁B₁，

又∵BC⊂平面BCC₁B₁

∴AD⊥BC．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，以及直线与平面垂直的性质等知识的综合运用．