Question

已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）利用的等差数列和等比数列的通项公式即可得出；

（2）利用等比数列的定义和其前n项和公式即可得出．

（1）设数列{a_n}的公比为q＞0，

由条件，q³，3q²，q⁴成等差数列，∴6q²=q³+q⁴

解得q=-3，或q=2，

∵q＞0，∴取q=2．

∴数列{a_n}的通项公式为an＝1×2n−1＝2n−1．

（2）记b_n=a_n+1-λa_n，则bn＝2n−λ•2n−1＝(2−λ)2n−1

若λ=2，b_n=0，S_n=0不符合条件；

若λ≠2，则

bn+1

bn＝2，数列{b_n}为等比数列，首项为2-λ，公比为2．

此时Sn＝

(2−λ)

1−2(1−2n)＝(2−λ)(2n−1)，

∵Sn＝2n−1(n∈N*)，

∴λ=1．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式及其定义和其前n项和公式是解题的关键．