（1）设F(x)=f(x)/x,G(x)=1/x；则
F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²,G'(x)=-1/x²
由柯西中值定理
[F(b)-F(a)]/[G(b)-G(a)]=F'(ξ)/G'(ξ)
可得
[f(b)/b-f(a)/a]/[1/b-1/a]={[ξf'(ξ)-f(ξ)]/ξ²}/(-1/ξ²)
即 [f(b)/b-f(a)/a]/[1/b-1/a]=-[ξf'(ξ)-f(ξ)]
即 [af(b)-bf(a)]/(a-b)=-[ξf'(ξ)-f(ξ)]
即 [af(b)-bf(a)]/(b-a)=ξf'(ξ)-f(ξ)
得证
（2）在区间(0,1)上,有f(0)=0,f(1)=1
应用第(1)题的结果,存在α∈(0,1),使得
f'(α)={[af(b)-bf(a)]/(b-a)+f(α)}/α
={[0*f(1)-1*f(0)]/(1-0)+f(α)}/α
={0+f(α)}/α
=f(α)/α
另外,用拉格朗日中值定理,存在α∈(0,1),使得
f'(α)*(b-a)=f(b)-f(a)
有 f'(α)*(1-0)=f(1)-f(0)
即 f'(α)=1
∴f'(α)=f(α)/α=1
此等式可得两个结果：
即 f'(α)=1和f(α)=α
类似地,在区间(0,α)上,f(0)=0,f(α)=α
再次用第(1)题的结果,存在β∈(0,α),使得
f'(β)={[af(b)-bf(a)]/(b-a)+f(β)}/β
=f(β)/β
再次用拉格朗日中值定理,存在β∈(0,α),使得
f'(β)*(b-a)=f(b)-f(a)
即 f'(β)*α=f(α)
∴ f'(β)=1 {∵f(α)=α}
同样,在区间(0,β)上,f(0)=0,f(β)=β
再次用第(1)题的结果,存在γ∈(0,β),使得
f'(γ)={[af(b)-bf(a)]/(b-a)+f(γ)}/γ
=f(γ)/γ
再次用拉格朗日中值定理,存在γ∈(0,β),使得
f'(γ)*(b-a)=f(b)-f(a)
即 f'(γ)*β=f(β)
∴ f'(γ)=1 {∵f(β)=β}
∵γ∈(0,β),β∈(0,α),α∈(0,1),
∴α,β,γ∈(0,1),且α≠β≠γ
又 f'(α)=1,f'(β)=1,f'(γ)=1
∴存在不同的α,β,γ∈(0,1),使得
1/f'(α)+1/f'(β)+1/f'(γ)=3,得证
PS：此结论应可继续推广下去,应该可能存在
n个不同的数x1,x2,...,xn∈(0,1),使得
1/f'(x1)+1/f'(x2)+...+1/f'(xn)=n