Question

已知函数f（x）=x2+px+q，g（x）=（ax+b）ex（p，q，a，b，m∈R），若曲线y=f（x）和曲线y=g（

Answer 1

解题思路：（1）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；

（2）由（1）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对m的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤mg（x）恒成立，从而求出m的范围．

（1）f′（x）=2x+p，g′（x）=（ax+a+b）e^x，由题意思得：

f(0)＝q＝2

f′(0)＝p＝4得f（x）=x²+4x+2，

g(0)＝b＝2

g′(0)＝a+b＝4得

a＝2

b＝2，

∴g（x）=2（x+1）e^x；

（2）由（1）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1）

设F（x）=mg（x）-f（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，则F′（x）=2me^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（me^x-1），

由题设得F（0）≥0，即m≥1，令F′（x）=0，得x₁=-lnk，x₂=-2，

①若1≤m≤e²，则-2＜x₁≤0，从而当x∈（-2，x₁）时，F′（x）＜0，当x∈（x₁，+∞）时，F′（x）＞0，

即F（x）在（-2，x₁）上减，在（x₁，+∞）上是增，故F（x）在[-2，+∞）上的最小值为F（x₁），

而F（x₁）=-x₁（x₁+2）≥0，x≥-2时F（x）≥0，即f（x）≤mg（x）恒成立，

②若m=e²，则F′（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2），从而当x∈（-2，+∞）时，F′（x）＞0，

即F（x）在（-2，+∞）上是递增，而f（-2）=0，故当x≥-2时，f（x）≥0，即f（x）≤mg（x）恒成立，

③若m＞e²时，则F′（-2）=-2me^-2+2=-2e^-2（m-e²）＜0，故当x≥-2时，f（x）≤mg（x）不可能成立，

综上，m的取值范围是[1，e²]．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道较难的题．