§1-3多项式的乘除运算
壹、补充重点
(1)设A、B为x的多项式,则乘积A´B：
j若A、B之次数分别为m、n,则A´B之次数为(m+n)次.
k若A、B之中有任一为零多项式,则A´B为零多项式,无次数可言.
(2)设两多项式f (x)、g (x),其乘积f (x)×g (x)中：
j系数总和：f (x)的系数总和´ g (x)的系数总和.
k常数项：f (x)的常数项´ g (x)的常数项.
lxk的系数：列出乘积中,每一组积为xk之项,分别求它们系数的乘积,相加即得.
(3)设A、B(B¹0) 两多项式之次数分别为m、n(m³n),即A=BQ+R中,jQ的次数为(m-n)次.kR 的次数恒小於B的次数.
(4)多项式除法问题：
设f (x)、g (x)都是多项式,则有q (x)、r (x)使得
jf (x) = g (x)q (x) + r (x) (被除式=除式´商式+余式)
r (x) = 0或r (x)的次数＜g (x)的次数
k ( =商式+ )
lg (x) = [f(x)-r(x)]÷q(x) (除式= (被除式-余式) ¸商式)
mq (x) = [f(x)-r(x)]÷g(x) (商式= (被除式-余式) ¸除式)
(5)余式定理活用问题：
j多项式f (x)除以(x-a)之余式R,则R= f (a).
k多项式f (x)除以ax+b(a¹0)之余式R,则R=f .
l若(x-a)整除多项式f (x),则f (a)=0.
m若ax+b(a¹0)整除多项式f (x),则f =0.
贰、例题
例1.多项式A除多项式B,所得之商式为Q,余式为R,则(A)A=BQ+R (B) =Q+R (C) =Q+ (D)B=AQ+R 【答：(D)】
例2.多项式A及多项式B分别是x的四次和二次多项式,则(A)A+B为x的五次式 (B)A-B为x的一次式 (C)A B为x的六次式 (D)A B的余式必为x的一次式 【答：(C)】
例3.试计算下列各式(结果请降幂排列)
(1)(x2+x+1)(x2-x+1) (2)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
(3)(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3) (4)(1-6x2)(2x-x2+x3)
(5)(2x3+6x2-7) (2x+1)的商式为?【答：(1)x4+x2+1 (2)x4-5x2+4 (3)-2 (4)-6x5+6x4-11x3-x2+2x(5)x2+ x- 】
例4.两多项式乘积(3x2-x+5)(x2+7x)的展开式中,
(1)其系数总和为?(2)x2项系数为?【答：(1)56 (2)-2】
例5.设f (x)为多项式且知 = (x+1)+ ,求f (3)之值?
例6.(1)若x-1能整除4x3-3x2+kx+1,试求k之值.
(2)若x2-2x+6能整除x3-3x2 +mx+n,试求m+n之值.
例7.(1)求(x3-2x2+6) (x+1)之商式和余式；
(2)求(x3-2x2+6) (20x+20)之商式和余式；
(3)求(20x3-40x2+120) (x+1)之商式和余式.
【答：(1)商式：x2-3x+3,余式：3 (2)商式：- + ,
余式：3 (3)商式：20x2-60x+60,余式：60 】
例8.试分别用x的多项式,表出右下图之面积与周长.
(请按降幂排列作答) 【答：面积：6x2+11x+6；周长：10x+18】
例9.有一数学题：「两多项式A、B,,试求A B」结果阿强看成A+B得出答案x2+x-1,阿华看成A-B得出答案x2+4,试求A B之正确答案.【答：商式：2x+11,余式：29】
参、习题
1.(1)若f (x)为三次多项式,g (x)亦为三次多项式,则f (x)+2g (x)为几次多项式?
(2)设A = ax3+x2-3,B = -x2+1,若A-xB为x之二次多项式,求a=?
2.试计算下列各式(结果请降幂排列)
(1)(x2-x-2)(x+1) (2)(x-1)(4x2-x+4)-x(2x+3)
(3)(3-2x+x2)(-7-x-3x2) (4)(8x3+2x2-27) (2x-3)的商式
3.若(3x2+ax-6)(2x2+x-1) = 6x4+bx3+cx2-2x+6,求a,b,c之值.
4.(1-2x+3x2-4x3+5x4)2的展开式中,其系数总和为何?
5.设f (x)为多项式,且 = x-2+ ,求f (x)
6.设2x4-x3+mx2+x+n被2x2+x+1整除,则2m+n
7.设两多项式A、B,若A除以B,得商式Q,余式R,则
(1)2A B之商式和余式为?(2)A 3B之商式和余式为?
(3)3A 之商式和余式为?
8.如图,所有的转折点均为直角,试分别用x的多项式,表出右下图之面积与周长.(请按降幂排列作答)
9.有一数学题：「两多项式A、B,,试求A B」结果小郁看成A+B得出答案x2-4x-1,小晴看成A-B得出答案x2-3,试求A B之正确答案.
肆、习题解答
1.(1)小於等於三次 (2)-1 2.(1)x3-3x-2 (2)4x3-7x2+2x-4
(3)-3x4+5x3-14x2+11x-21 (4)4x2+7x+ 3.a=-4、b= -5
c=-19 4.9 5.x-1 6.10 7.(1)商式：2Q,余式：2R
(2)商式：Q,余式：R (3)商式：6Q,余式：3R
8.面积：6x2-20x-92,周长：10x+32
9.商式：x+ ,余式：