已知定点A（-2，0），B（2，0），及定点F（1 - 知识问答

已知定点A（-2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线

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（1）由椭圆的第二定义可知：
点M的轨迹E是以定点F（1，0）为焦点，离心率e=
1
2 ，直线l：x=4为准线的椭圆（除去与x轴相交的两点）．
∴c=1，
c
a =
1
2 ，∴a=2，b²=2²-1²=3，
∴点M的轨迹为椭圆E，其方程为
x 2
4 +
y 2
3 =1 （除去（±2，0））．
（2）以线段PQ为直径的圆经过定点F．下面给出证明：
如图所示：设C（x₀，y₀），（x₀≠±2），则直线AC的方程为： y=
y 0
x 0 +2 (x+2) ，
令x=4，则y_P=
6 y 0
x 0 +2 ，∴ P(4，
6 y 0
x 0 +2 ) ，∴ k PF =
6 y 0
x 0 +2
4-1 =
2 y 0
x 0 +2 ；
直线BC的方程为： y=
y 0
x 0 -2 (x-2) ，令x=4，则y_Q=
2 y 0
x 0 -2 ，∴ Q(4，
2 y 0
x 0 -2 ) ，∴k_QF=
2 y 0
x 0 -2
4-1 =
2 y 0
3( x 0 -2) ．
∴k_PF•k_QF=
2 y 0
x 0 +2 ×
2 y 0
3( x 0 -2) =
4 y 0 2
3( x 0 2 -4) ，
∵点C（x₀，y₀）在椭圆
x 2
4 +
y 2
3 =1 上，∴
x 0 2
4 +
y 0 2
3 =1 ，∴
4 y 0 2
3( x 0 2 -4) =-1，
∴k_PF•k_QF=-1．
因此以线段PQ为直径的圆经过定点F．

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