Question

已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}

Answer 1

（Ⅰ）依题意，有

S5＝70

a72＝a2a22，即

5a1+10d＝70

(a1+6d)2＝(a1+d)(a1+21d)

解得a₁=6，d=4，

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2（n∈N*）．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得S_n=2n²+4n，

∴

an+6

(n+1)Sn＝

4n+2+6

(n+1)(2n2+4n)＝

4(n+2)

2n(n+1)(n+2)＝

2

n(n+1)，

∴Tn＝2[(1?

1

2)+(

1

2?

1

3)+…+(

1

n?

1

n+1)]＝2(1?

1

n+1)，

∵{

1

n+1}是递减数列，且n∈N^*，

∴0＜

1

n+1≤

1

2．∴?