Question

求椭圆x^/9 +y^/16=1上的点到直线L:x+y-7=0的最短及最长距离

Answer 1

方法一：三角换元

令x=3cosθ,y=4sinθ

点到直线的距离

d=｜x+y-7｜/√2

=｜3cosθ+4sinθ-7｜/√2

=｜5sin(θ+φ)-7｜/√2 (φ=arcsin3/5)

所以√2≤d≤6√2

方法二：柯西不等式

（x^2/9+y^2/16)(9+16)≥(x+y)^2

所以-5≤x+y≤5

所以√2≤d≤6√2

用柯西不等式更简单,但用三角换元更有一般性.如果那个椭圆不是完整的,而是一段,那就用三角换元比较好了（注意θ的范围）,因为用柯西不等式有可能做不出.