解题思路:由抛物线开口向下得a<0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0,则可对①进行判断;根据抛物线的对称轴为直线x=-[b/2a]=1可对②进行判断;由顶点P的坐标为(1,4)得到a+b+c=4,即2a+2b+2c=8,然后把2a=-b代入得到b=8-2c,则可对③进行判断;根据二次函数的最大值为4,即ax2+bx+c≤4,则当m<4时,有两个自变量的值满足ax2+bx+c=m,
于是可对⑤进行判断.
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴ac<0,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=-[b/2a]=1,
∴2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线的顶点P的坐标为(1,4),
∴a+b+c=4,即2a+2b+2c=8,
而2a=-b,
∴b=8-2c,
∵c>0,
∴b<8,所以③正确;
∵二次函数的最大值为4,即ax2+bx+c≤4,
∴当m<4时,有两个自变量的值满足ax2+bx+c=m,
即方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,所以⑤正确.
故选D.
点评:
本题考点: 二次函数图象与系数的关系.
考点点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a决定抛物线的开口方向和大小;当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②b和a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时,对称轴在y轴左侧; 当a与b异号时,对称轴在y轴右侧;常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).