Question

已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，两焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，且△AB

Answer 1

解题思路：欲求双曲线的离心率，只须建立a，c的关系式即可，由双曲线的定义得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，从而△ABF₁周长为：2|AB|+4a，利用△ABF₁内切圆的半径为a，得到△ABF₁面积为：S=[1/2]（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S=[1/2]|AB|×2c，由面积相等即可建立a，c的关系，即可求得此双曲线的离心率．

由双曲线的定义得：

|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a两式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，

又在双曲线中，|AB|=2×

b2

a，

∴△ABF₁周长为：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4×

b2

a+4a，

∵△ABF₁内切圆的半径为a，

∴△ABF₁面积为：S=[1/2]（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a

又S=[1/2]|AB|×2c，

∴[1/2]（4×

b2

a+4a）×a=[1/2]|AB|×2c

即c²-a²=ac

解得：e=[c/a]=

1+

5

2，则此双曲线的离心率为

1+

5

2．

故答案为：

1+

5

2．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的离心率和三角形内切圆的性质，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘，注意应用三角形面积的不同计算方法建立关于a，b，c的等式求离心率．