Question

合情推理设正数列{An}前n项和为Sn 且存在正数t 使得对所有自然数n 有√（tSn）=（t+An）/2 则通过归纳猜

Answer 1

当n=1时,S1=A1

因为√（tS1）=（t+A1）/2

故有：√（tA1）=（t+A1）/2

所以：t=A1

当n=2时,S2=A1+A2=t+A2

因为√（tS2）=（t+A2）/2

故有：√[t(t+A2)]=（t+A2）/2

所以：3t=A2

当n=3时,S2=A1+A2+A3=t+3t+A3=4t+A3

因为√（tS3）=（t+A3）/2

故有：√[t(4t+A3)]=（t+A3）/2

即：(5t-A3)(3t+A3)=0

因为A3>0,t>0

所以：5t=A3

同理可求：当n=3时,7t=A4

由：A1=t,A2=3t,A3=5t,A4=7t

归纳猜想可得到An=(2n-1)t=t+(n-1)×2t

即：正数列{An}为首项t是公差是2t的等差数列

Sn=1/2(A1+An)n=n²t