Question

微积分，在线等 求矩阵A的特征值对应的特征向量

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ，那么

|A-λE|=

-λ -1 1

-1 -λ 1

1 1 -λ 第3行加上第2行

=

-λ -1 1

-1 -λ 1

0 1-λ 1 -λ 第2列减去第3列

=

-λ -2 1

-1 -λ-1 1

0 0 1 -λ 按第3行展开

=

(1-λ)(λ^2+λ-2)=0

解得特征值λ=1，1，-2

当λ=1时，

A-E=

-1 -1 1

-1 -1 1

1 1 -1 r1+r3,r2+r3,交换行次序

～

1 1 -1

0 0 0

0 0 0

得到特征向量

(1,0,1)^T ,(0,1,1)^T

当λ=-2时，

A+2E=

2 -1 1

-1 2 1

1 1 2 r1+2r2,r2+r3

～

0 3 3

0 3 3

1 1 2 r1-r2,r2/3，交换行次序

~

1 1 2

0 1 1

0 0 0 r1-r2

～

1 0 1

0 1 1

0 0 0

得到特征向量(1,1,-1)^T

于是得到矩阵的特征值为1，1，-2

其对应的特征向量为(1,0,1)^T ,(0,1,1)^T，(1,1,-1)^T