已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0， - 知识问答

已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，求a2b

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设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at²+bt+c=0①，bt²+ct+a=0②，ct²+at+b=0③，
①+②+③得（a+b+c）t²+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（t²+t+1）=0，
而t²+t+1=（t+[1/2]）²+[3/4]，
∵（t+[1/2]）²≥0，
∴t²+t+1＞0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=-c，
原式=
a3+b3+c3
abc
=
(a+b)(a2−ab+b2)+c3
abc
=
−c(a2−ab+b2)+c3
abc
=
c2−(a2−ab+b2)
ab
=
c2−[(a+b) 2−3ab]
ab
=
c2−c2+3ab
ab
=3．

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