已知椭圆c:x^2/a^2+y2/b^2=1(a>√2)的左右焦点分别为F1 F2……

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  • 椭圆的题目

    (1)

    令c²=a²-2 (c>0)

    点F1、F2坐标分别为F1(-c,0) F2(c,0)

    ∵PF2与x轴垂直

    ∴点P的横坐标为c

    又∵点P在第一象限内且在椭圆上

    ∴c²/a²+y²/2=1

    y²=2(1-c²/a²)

    y²=2(a²-c²)/a²

    y²=4/a²

    y=2/a

    点P的坐标为(c,2/a)

    向量F1P=(2c,2/a)

    向量OP=(c,2/a)

    向量F1P·向量OP=2c²+4/a²=5

    2(a²-2)+4/a²=5

    2a²-4+4/a²=5

    2a²-9+4/a²=0

    2a^4-9a²+4=0

    (2a²-1)(a²-4)=0

    ∵a>√2

    ∴a²>2

    ∴a²=4

    椭圆C的方程是:x²/4+y²/2=1

    (2)

    点B的坐标是(0,√2)

    直线BE和直线l垂直

    ∴直线BE的斜率是:-1/(-1)=1

    则直线BE的方程是:y=x+√2

    联立y=x+√2与x²/4+y²/2=1

    x²+2(x+√2)²=4

    3x²+4√2x=0

    x(3x+4√2)=0

    x=0 或 x=-4√2/3

    当x=0时,y=√2 是点B

    当x=-4√2/3时,y=-4√2/3+√2=-√2/3

    ∴点E的坐标是(-4√2/3,-√2/3)

    则线段BE的中点坐标是(-2√2/3,√2/3)

    而线段BE的中点在直线l上

    ∴√2/3=4√2/3+m

    m=-√2

    曲线的题目:

    (1)

    向量MB=-2×向量MA

    向量BM=2×向量MA

    点M分有向线段MA的比为2

    而点M的坐标为(√3/3,0) 点B的坐标为(0,2)

    设点A的坐标为(x1,y1)

    则有:

    √3/3=(0+2x1)/(1+2)

    0=(2+2y1)/(1+2)

    解得:x1=√3/2 y1=-1

    ∴点A的坐标为(√3/2,-1)

    而点A、B在曲线E上,把A、B的坐标代入曲线E的方程,得:

    (√3/2)²a+(-1)²b=1

    0²a+2²b=1

    解得:a=1 b=1/4

    ∴曲线E的方程是:x²+y²/4=1

    (2)当a=b=1时,曲线E的方程是:x²+y²=1

    设此时点A的坐标为(x3,y3),点B的坐标为(x4,y4)

    ∵向量BM=2×向量MA

    √3/3=(x4+2x3)/(1+2)

    0=(y4+2y3)/(1+2)

    可得:x4=√3-2x3 y4=-2y3

    即点B的坐标可表示为(√3-2x3,-2y3)

    而点A、B在曲线E上,把A、B的坐标代入曲线E的方程,得:

    x3²+y3²=1 ①

    (√3-2x3)²+(-2y3)²=1 ②

    ②化为:3-4√3x3+4x3²+4y3²=1

    把①代入:3-4√3x3+4=1

    4√3x3=6

    x3=√3/2

    代入①:(√3/2)²+y3²=1

    3/4+y3²=1

    y3²=1/4

    y3=±1/2

    当x3=√3/2,y3=1/2时,

    x4=√3-2×√3/2=0

    y4=-2×1/2=-1

    点A坐标为(√3/2,1/2),点B坐标为(0,-1)

    直线AB的斜率为:(1/2+1)/(√3/2-0)=√3

    方程为:y=√3x-1

    当x3=√3/2,y3=-1/2时,

    x4=√3-2×√3/2=0

    y4=-2×(-1/2)=1

    点A坐标为(√3/2,-1/2),点B坐标为(0,1)

    直线AB的斜率为:(-1/2-1)/(√3/2-0)=-√3

    方程为:y=-√3x+1

    终上所述:

    直线AB的方程为:y=√3x-1

    或:y=-√3x+1