已知点A(a,o)(a>4),点B(0,b)(b>4),直线AB与圆E:X^2+Y^2-4X-4Y+3=0相交于C,D两

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  • (1)直线AB:x/a+y/b=1即:bx+ay-ab=0

    圆E:(x-2)^2+(y-2)^2=5.圆心E(2,2)半径r=√5

    圆心E到直线AB距离为:d=√[r^2-(CD/2)^2]=2

    |2×b+2×a-ab|/√(a^2+b^2)=2

    ∴|2b+2a-ab|=2√(a^2+b^2)

    (2b+2a-ab)^2=4(a^2+b^2)

    ab[(ab-4(a+b)+8]=0

    ∵ab≠0

    ab-4(a+b)+8=0即ab-4a-4b+16=8

    (a-4)(b-4)=8

    (2)设线段AB的中点M(x,y)又A(a,0),B(0,b)

    x=a/2,y=b/2

    ∴a=2x,b=2y代入(a-4)(b-4)=8得:(2x-4)(2y-4)=8

    (x-2)(y-2)=2[注:x>2,y>2]

    (3)前面已得圆心E到直线AB距离为:d=2

    |AB|=√(a^2+b^2)

    S=(1/2)×2√(a^2+b^2)=√(a^2+b^2)

    令a-4=m,b-4=n∴mn=8,a=m+4,b=n+4

    a^2+b^2=(m+4)(n+4)=mn+4m+4n+16=4(m+n)+24≥8(√mn)+24=24+16√2

    ∴S≥√(24+16√2)=2√(6+4√2)=2√(4+4√2+2)=2√(2+√2)^2=4+2√2

    S的最小值为:4+2√2