Question

如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且直线O1O2交AB于C，说明AC=BC，AB⊥O1O2．

Answer 1

解题思路：显然可以证明△AO₁O₂≌△BO₁O₂，进而可得AC=BC，再根据∠ACO₁=∠BCO₁，可得出AB⊥O₁O₂．

证明：（方法一）

连接O₁A，O₁B，O₂A，O₂B．

∵在△AO₁O₂和△BO₁O₂中，

由

O1A＝O1B

O2A＝O2B

O1O2＝O1O2，

∴△AO₁O₂≌△BO₁O₂，

∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂；

又O₁A=O₁B，

∴△O₁AC≌△O₁BC．

∴AC=BC．

∴∠ACO₁=∠BCO₁．

∴AB⊥O₁O₂．

（方法二）

∵O₁A=O₁B，

∴O₁在线段AB的垂直平分线上，

∵O₂A=O₂B，

∴O₂在线段AB的垂直平分线上，

又经过两点有且只有一条直线，

∴O₁O₂是线段AB的垂直平分线，

∴AC=BC，

∴AB⊥O₁O₂．

点评：

本题考点： 相交两圆的性质．

考点点评： 本题考查圆与圆相交时两圆的位置关系及圆心距、公共弦与两圆半径间的关系，解答此类题关键是通过图形找到等量关系．