Question

已知等差数列{a n }各项都不相同，前3项和为18，且a 1 、a 3 、a 7 成等比数列

Answer 1

（1）依题意，得

a ₁+a ₂+a ₃=18，即3a ₂=18，解得a ₂=6

设数列{a _n}的公差为d，可知d≠0

可得 a 3 2 = a 1 a 7 ，即（6+d） ²=（6-d）（6+5d）

解之得 d=2

∴a _n=a ₂+（n-2）d=2（n+1），即数列{a _n}的通项公式为a _n=2（n+1）；

（2）由已知b _n+1-b _n=a _n

∴当n≥2时，b _n-b _n-1=a _n-1=2n，所以可知

b n-1 - b n-2 =2(n-1)

…

b 2 - b 1 =2×2

b 1 =2×1

以上各式进行累加，可得b _n=2（1+2+3+…+n）=n（n+1）

又∵b ₁=2=1×（1+1），也满足b _n=n（n+1）

∴可知当n∈N ^*时，b _n=n（n+1）

因此

1

b n =

1

n(n+1) =

1

n -

1

n+1 ，

可得 T n =(1-

1

2 )+(

1

2 -

1

3 )+…+(

1

n -

1

n+1 )=1-

1

n+1 =

n

n+1 ．