如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45度.则有结论EF=BE+FD成立;

5个回答

  • 解题思路:(1)结论仍然成立.延长CB到G,使BG=FD,根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF,由此可以推出∠BAG=∠DAF,AG=AF,而∠EAF=[1/2]∠BAD,所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF,进一步得到∠EAF=∠GAE,现在可以证明△AEF≌△AEG,然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立;

    (2)结论不成立,应为EF=BE-DF,如图在CB上截取BG=FD,由于∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,可以得到∠B=∠ADF,再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF,由此可以推出∠BAG=∠DAF,AG=AF,而∠EAF=[1/2]∠BAD,所以得到∠EAF=∠GAE,现在可以证明△AEF≌△AEG,再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF.

    (1)延长CB到G,使BG=FD,连接AG,

    ∵∠ABG=∠D=90°,AB=AD,

    ∴△ABG≌△ADF,

    ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,

    ∵∠EAF=[1/2]∠BAD,

    ∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,

    ∴∠EAF=∠GAE,

    ∴△AEF≌△AEG,

    ∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.

    (2)结论不成立,应为EF=BE-DF,

    证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.

    ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,

    ∴∠B=∠ADF.

    ∵AB=AD,

    ∴△ABG≌△ADF.

    ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.

    ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

    =∠EAF=[1/2]∠BAD.

    ∴∠GAE=∠EAF.

    ∵AE=AE,

    ∴△AEG≌△AEF.

    ∴EG=EF

    ∵EG=BE-BG

    ∴EF=BE-FD.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题是开放性试题,首先在特殊图形中找到规律,然后再推广到一般图形中,对学生的分析问题,解决问题的能力要求比较高.