Question

rt三角形abc中,∠c 90°,AB,BC,CB的长分别为c,a,b,求三角形ABC的内切圆半径r.

Answer 1

设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c

结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

或者用：内切圆直径L＝a＋b－c

证明方法一般有两种：

方法一：

如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE

显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE

所以四边形CDOE是正方形

所以CD＝CE＝r

所以AD＝b－r,BE＝a－r,

因为AD＝AF,CE＝CF

所以AF＝b－r,CF＝a－r

因为AF＋CF＝AB＝r

所以b－r＋a－r＝r

内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

即内切圆直径L＝a＋b－c

方法二：

如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OF,OA、OB、OC

显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB

所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB

所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2

所以r＝ab/(a＋b＋c)

＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)

＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]

因为a^2＋b^2＝c^2

所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

即内切圆直径L＝a＋b－c