可以将n^2-2bn+1视为函数来讨论,不过这个函数的自变量不是n而是b,即令g(x)=(-2n)x+(n^2+1),x∈[-1,1],显然g(x)为一次函数.注意这里变量x就是b,换成x的目的是便于在同一坐标系中讨论f(x)与g(x)的关系.不妨按这个思路往下探讨一下：
易知区间[-1,1]上f(x)max=f(0)=1
易知区间[-1,0]上f(x)min=f(-1)=-1
易知区间(0,1]上f(x)min=f(1)=1/2
区间[-1,1]上f(x)的图象如下：
1、当n=0时,g(x)=1
显然f(x)≤f(x)max=g(x),即f(x)≤g(x)
2、当n≠0时
易知g(x)在y轴上的截距为n^2+1>1,高于f(x)max
易知g(x)在x轴上的截距为(n^2+1)/2n
（1）若n<0,即-n>0
则g(x)为斜向上的直线
显然在[0,1]上g(x)与f(x)无交点
即在[0,1]上f(x)
而在[-1,0)上g(x)可能与f(x)=2-(1/3)^x相交
因(-n)^2+1≥-2n（基本不等式）
即g(x)在x轴上的截距(n^2+1)/2n≤-1
于是构造一个函数h(x)=x+1
如果在[-1,0)上f(x)
那么在[-1,0)上f(x)
事实上f'(x)=(1/3)^xln3（注意到导函数f'(x)为减函数）
当-1≤x<0时,1
显然在[-1,0)上f(x)
而因(-n)^2+1≥-2n（基本不等式）
即g(x)在x轴上的截距(n^2+1)/2n≤-1
且g(x)在y轴上的截距n^2+1>1
表明在[-1,0)上h(x)总在g(x)的下方
即在[-1,0)上h(x)
所以在[-1,0)上f(x)
由此可知,在[-1,0)上g(x)不可能与f(x)=2-(1/3)^x相交
即表明当n<0时,在[-1,1]上f(x)
（2）当n>0,即-n<0
则g(x)为斜向下的直线
显然在[-1,0]上g(x)与f(x)无交点
即在[-1,0]上f(x)
而在(0,1]上g(x)可能与f(x)=1/2x^2-x+1相交
令F(x)=f(x)-g(x)=1/2x^2+(2n-1)x-n^2
显然F(0)=-n^2<0
要使在(0,1]上f(x)≤g(x)恒成立
即要使在(0,1]上F(x)≤0恒成立
即要使F(1)≤0恒成立
于是有1/2+(2n-1)-n^2≤0
即有n^2-2n+1/2≥0
注意到n>0
解得0
由此可知,0
综上所述,满足条件的实数n的取值范围为n≤1-√2/2或n≥1+√2/2
补充说明：
对于n≠0的情形还可以这样考虑：
(1)若n<0
则易知g(x)在[-1,1]上为增函数
而f(x)在[-1,0]上为增函数,而在[0,1]上为减函数
（为了取到最值,这里两个分区间均采用闭区间的形式）
因g(0)=n^2+1>1,f(0)=1
则在[0,1]上f(x)
观察在[-1,0]上,并注意到在[-1,0]上g(x)和f(x)均为增函数
则有g(x)min=g(-1)=(n+1)^2≥0,g(x)max=g(0)=n^2+1>1
且有f(x)min=f(-1)=-1<0,f(x)max=f(0)=1
显然f(x)min
表明在[-1,0]上f(x)图象总低于g(x)图象
即f(x)
(2)若n>0
则易知g(x)在[-1,1]上为减函数
而f(x)在[-1,0]上为增函数,而在[0,1]上为减函数
（为了取到最值,这里两个分区间均采用闭区间的形式）
因g(0)=n^2+1>1,f(0)=1
则在[-1,0]上f(x)
观察在[0,1]上,并注意到在[0,1]上g(x)和f(x)均为减函数
则有g(x)min=g(1)=(n-1)^2≥0,g(x)max=g(0)=n^2+1>1
且有f(x)min=f(1)=1/2>0,f(x)max=f(0)=1
尽管f(x)max
则表明在[0,1]上f(x)与g(x)可能相交
要使在[0,1]上f(x)图象总不高于g(x)图象
即要使在[0,1]上f(x)≤g(x)恒成立
即要使在[0,1]上f(x)min≤g(x)min恒成立
则必有(n-1)^2≥1/2
注意到n>0
解得0
1年前
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