解题思路：（1）求导函数，令f'（x）＜0，结合a＜0，可得函数单调递减区间；
（2）设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），求出切线方程，代入点P的坐标，两方程相减，借助于基本不等式，即可证得A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）先确定0＜a＜2，再求导函数，确定函数的单调性与最小值，进而可确定正实数a的取值范围．
（1）f'（x）=3x2+2ax-a2=3（x+a）（x-[a/3]）
令f'（x）＜0，∵a＜0，∴[a/3＜x＜−a
∴函数单调递减区间[
a
3]，-a]；
（2）证明：当a=0时，f（x）=x3+2
设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），
∵y′=3x2，∴在点A处的切线斜率为k=3x12
∴在A处的切线方程为y-（x13+2）=3x12（（x-x1）
∵切线过点P，∴t-（x13+2）=3x12（（2-x1）
∴2x13−6x12+(t−2)＝0①
同理2x23−6x22+(t−2)＝0②
①-②可得2(x13−x23)−6(x12−x22)＝0
∵x1≠x2，∴(x1+x2)2−x1x2−3(x1+x2)＝0
∵x1≠x2，∴x1x2＜(
x1+x2
2)2
∴(x1+x2)2−(
x1+x2
2)2−3(x1+x2)＜0
∴0＜x1+x2＜4
∴A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a2+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵f′(x)＝3(x+a)(x−
a
3)
∴x∈(0，
a
3)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(
a
3，1)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
∴当x=
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查存在性问题的研究，正确求导是关键．