Question

已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=___

Answer 1

解题思路：由已知中，圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P，Q两点，使用“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法，结合OP⊥OQ，我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值．

联立直线与圆方程得到：

（2y-3）²-（2y-3）+y²-6y+m=0

整理得：5y²-20y+（m+12）=0

则：y₁+y₂=4，y₁•y₂=[m+12/5]

∴x₁•x₂=（-2y₁+3）•（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=4•[m+12/5]-15

已知OP⊥OQ

则，Kop*Koq=-1

即：y₁•y₂+x₁•x₂=0

∴[m+12/5]+4•[m+12/5]-15=0

即m+12-15=0

∴m=3

故答案为：3

点评：

本题考点： 直线与圆相交的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法，是解答直线与圆锥曲线（包括圆）位置关系中，最常用的方法，一定要熟练掌握．