Question

设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使f(x)+f(y)2＝C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的

Answer 1

解题思路：根据在其定义域上均值为1的函数的定义，逐一对四个函数列出方程，解出y关于x的表达式，其中①③④在其定义域内有解，②在其定义域内无解，从而得出正确答案．

①对于函数y=x³，定义域为R，设x∈R，由

x3+y3

2＝1，得y³=2-x³，所以y＝

32−x3

∈R，所以函数y=x³是定义域上均值为1的函数；

②对于y＝(

1

2)x，定义域为R，设x∈R，由

(

1

2)x+(

1

2)y

2＝1，得(

1

2)y＝2−(

1

2)x，当x=-2时，2−(

1

2)−2＝−2，不存在实数y的值，使(

1

2)y＝−2，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；

③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），设x∈（0，+∞），由

lnx+lny

2＝1，得lny=2-lnx，则

y=e^2-lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；

④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由

2sinx+1+2siny+1

2＝1，得siny=-sinx，因为-sinx∈[-1，1]，

所以存在实数y，使得siny=-sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．

所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．

故选C．

点评：

本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题着重考查了函数的值域，属于基础题．熟练掌握各基本初等函数的定义域和值域是解决本题的关键．