Question

已知数列{a n }满足： 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 +…+ 1 a n =n 2 （n≥1，n∈N

Answer 1

（1）

1

a 1 +

1

a 2 +

1

a 3 +…+

1

a 2011 =2011 ²

1

a 1 +

1

a 2 +

1

a 3 +…+

1

a 2010 =2010 ²
两式相减得

1

a 2011 =2011 ²-2010 ²=4021⇒a ₂₀₁₁=

1

4021

（2）

1

a 1 +

1

a 2 +

1

a 3 +…+

1

a n =n ²

1

a 1 +

1

a 2 +

1

a 3 +…+

1

a n+1 =（n+1） ²

两式相减得

1

a n =n ²-（n-1） ²=2n-1⇒ a n =

1

2n-1 （n≥2）

当n=1时，a ₁=1也满足上式∴ a n =

1

2n-1 （n≥1）

b _n=a _na _n+1=

1

(2n-1)(2n+1) =

1

2 （

1

2n-1 -

1

2n+1 ）

S _n=

1

2 [（1-

1

3 ）+（

1

3 -

1

5 ）+…+（

1

2n-1 -

1

2n+1 ）]=

1

2 （1-

1

2n+1 ）

存在正整数b，使得S _n＞λ-

1

2 ，即S _n的最大值大于λ-

1

2

而S _n=

1

2 （1-

1

2n+1 ）＜

1

2

∴

1

2 ＞λ-

1

2 ，即λ＜1