解题思路:(I)先求函数的定义域,然后对函数求导可得f′(x)=lnx+1分别令f′(x)>0f′(x)<0可求函数的单调增区间,单调减区间
(II)由(I)可知函数x=[1/e]取得最小值,从而可求故M=f([1/e]),e•M=-1
设满足条件的切点为(x0,y0),则根据导数的几何意义可求切点坐标为(
(
1
e
2
,
-2
e
2
)
,进一步可得切线方程
(I)函数的定义域为:(0,+∞)
对函数求导可得f′(x)=lnx+1
令f′(x)>0可得x>
1
e
f′(x)<0可得0<x<
1
e
则函数的单调增区间为([1/e,+∞),单调减区间为(0,
1
e])
(II)由(I)可知函数x=[1/e]取得最小值,故M=f([1/e])=-
1
e,e•M=-1
设满足条件的切点为(x0,y0),则根据导数的几何意义有lnx0+1=-1即x0=
1
e2
切点坐标为((
1
e2,
-2
e2)
切线方程为y+
2
e2=-(x-
1
e2)
x+y+
1
e2=0
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: (1)想要求函数的单调区间,可先求函数的定义域,然后结合导数的符号进行求解,此类问题容易忽略对定义域的判断
(2)利用导数的几何意义设出切点坐标是解决该问题的关键