已知函数f(x)=xlnx(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为M,求与曲线y=f(x)相切且斜率为

1个回答

  • 解题思路:(I)先求函数的定义域,然后对函数求导可得f′(x)=lnx+1分别令f′(x)>0f′(x)<0可求函数的单调增区间,单调减区间

    (II)由(I)可知函数x=[1/e]取得最小值,从而可求故M=f([1/e]),e•M=-1

    设满足条件的切点为(x0,y0),则根据导数的几何意义可求切点坐标为(

    (

    1

    e

    2

    -2

    e

    2

    )

    ,进一步可得切线方程

    (I)函数的定义域为:(0,+∞)

    对函数求导可得f′(x)=lnx+1

    令f′(x)>0可得x>

    1

    e

    f′(x)<0可得0<x<

    1

    e

    则函数的单调增区间为([1/e,+∞),单调减区间为(0,

    1

    e])

    (II)由(I)可知函数x=[1/e]取得最小值,故M=f([1/e])=-

    1

    e,e•M=-1

    设满足条件的切点为(x0,y0),则根据导数的几何意义有lnx0+1=-1即x0=

    1

    e2

    切点坐标为((

    1

    e2,

    -2

    e2)

    切线方程为y+

    2

    e2=-(x-

    1

    e2)

    x+y+

    1

    e2=0

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: (1)想要求函数的单调区间,可先求函数的定义域,然后结合导数的符号进行求解,此类问题容易忽略对定义域的判断

    (2)利用导数的几何意义设出切点坐标是解决该问题的关键