Question

四边形ABCD中,M为CD的中点,已知△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半,求证AD‖BC

Answer 1

【死008,你好像写错了吧!三角形EFB与三角形BCE面积怎么相等的?】【图：http://hi.baidu.com/%D7%CF%C2%DE%C0%BC%B0%AE%E9%CF%E9%AD%CA%F7/album/item/2930d2021571e4bd0afa9355.html#】或看文字回答下的图要解决您的这个问题,首先要引入一道小学奥数题：如图（1）,四边形ABCD中,E是AB中点,F是CD中点,连接AF,ED交于点G,连接CE,BF交于点H,已知S△ADG=13,S△BHC=11,求S四EGFH在这个图形中,有S△ADG+ S△BHC=S四EGFH所以S四EGFH=24那么对上面的等式做一下变形：（S△ADG+S△GDF）+（S△FHC+ S△BHC）=S四EGFH+ （S△GDF+S△FHC）即S△ADF+S△BFC=S△DEC…………①同理 S△EAD+S△BEC=S△BAF…………②式子①,②就与你的题目有很大的关系现要证明这两个结论,如图（2）证：作DX,FY,CZ分别垂直AB于X,Y,Z∵CZ⊥AB,FY⊥AB∴∠CZB=∠FYA=90°∴CZ‖FY同理,DX‖FY∴DX‖FY‖CZ∵DF=FC∴XY=YZ（平行线等分线段定理）【平行线等分线段定理：两条直线被三条平行直线所截,如果一条直线上截得的线段相等,那么另一条直线上截得的线段相等】∴梯形CYXD中,FY是中位线∴FY=½（DX+CZ）∴S△EAD+S△BEC=½•AE•DX+½•BE•CZ=AE•½（DX+CX）=(½•AB)•FY= S△BAF同理,S△ADF+S△BFC=S△DEC再回到你的题目,如图（3）证：取AB中点N,连接AM,BM,CN,DN,MN,作AP⊥MN于P,BQ⊥MN于Q∵△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半∴S△ABM=S△ADM+S△MBC由上面结论可知：S△DNC= S△ADM+S△MBC∴S△DNC=S△ABM又∵△AMN与△AMB同高,且底之比为1:2∴S△ANM=½S△ABM同理S△DMN=½S△DCN∴S△ANM=S△DMN∴½•AP•MN=½•BQ•MN∴AP=BQ又∵AP⊥MN于P,BQ⊥MN于Q∴AD‖MN同理,BC‖MN∴AD‖BC【希望对你有帮助】