（1）∵抛物线y=x 2+bx+c过点C（0，2），
∴x=2
又∵tan∠OAC=
=2，
∴OA=1，即A（1，0），
又∵点A在抛物线y=x 2+bx+2上，
∴0=1 2+b×1+2，b=-3
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x 2-3x+2；
（2）存在，
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
∴x=-
，
∴AE=OE-OA=
-1=
，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE= tan∠CPD
∴
，
即
，
解得PE=
或PE=
，
∴点P的坐标为（
，
）或（
，
）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2）
∴MN=-t+2-（t 2-3t+2）=-t 2+2t
∴S △BCM=S △MNC+S △MNB=
MN·t+
MN·（2-t）=
MN·（t+2-t）=MN=-t 2+2t（0＜t＜2），
∴S △BCN=-t 2+2t=-（t-1） 2+1
∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。