Question

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内

Answer 1

解题思路：（1）首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C₅²种，再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A₅⁵种投放法

（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A₅⁵种，而球的编号与盒子编号 全相同只有1种．减去即可．

（3）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五个球的编号与盒子编号全不同的放法．

首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C₅²=10种，

再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A₅⁵=120种投放法．

∴共计10×120=1200种方法

（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A₅⁵种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有A₅⁵-1=119种．

（3）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，

第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!(

1

2!−

1

3!+

1

4!−

1

5!)＝44

∴满足条件的放法数为：

A₅⁵-45-44=31（种）．

点评：

本题考点： 排列、组合及简单计数问题．

考点点评： 本题（1）解题的关键是把两个球先看成一个球，把没要球的地方也堪称一个球，再排列得到结果，（2）（3）用间接法求解便捷．