【解法一】关于x的直线方程x+k=√（1-x^2)有两不等实数根,等价于直线y=x+k与曲线y=√(1-x²)有两个交点,
y=√(1-x²)>=0
即x轴上方
两边平方
x²+y²=1
所以是单位圆在x轴上方的部分
和x轴交点A(-1,0),B(1,0)
y=x+k是斜率为1的直线
画出图像可知
当直线过A时,k=1
直线再向左移动,即k>1时,直线与图像有两个交点
而当直线和半圆在第二象限相切时,
此时圆心到直线距离等于于半径
所以|0+0+k|/√(1²+1²)=1
|k|=√2
此时直线与y轴正半轴相交
所以k>0,k=√2
故k的取值范围是1≤k＜√2.
【解法二】∵x+k=√(1-x²) ==>1-x²≥0
==>-1≤x≤1
∴方程根的最大负值是-1
∵√(1-x²)是非负数
∴x+k≥0 ==>k≥-x≥1.(1)
∵x+k=√(1-x²) ==>(x+k)²=1-x²
==>x²+2kx+k²=1-x²
==>2x²+2kx+k²-1=0
又方程有两相异实根
∴根据违达定理,有4k²-8(k²-1)＞0
==>k²-2＜0
==>-√2＜k＜√2.(2)
综合不等式(1)和(2),1≤k＜√2
故k的取值范围是1≤k＜√2.