Question

从三角形的同一个顶点引出的角平分线和中线重合,此时三角形的形状如何?画图说明

Answer 1

（1）等腰三角形

如图,AD是∠BAC的平分线,也是边BC上中线.

过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂直为E,F,

∴∠BED=∠CFD=90 .

∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF,

∵AD是边BC上中线,

∴DB=DC,

因此,由∠BED=∠CFD=90 , DE=DF,DB=DC,

得△BED≌△CFD,∴∠DBE=∠DCF,∴△ABC是等腰三角形.

（2）等边三角形

如图,AD是边BC上中线,也是边BC上高.

∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90 ,AD=AD,

∴△ADB≌△ADC,

∴AB=AC,同理当CA边上的中线与高重合时,BA=BC；

当AB边上的中线与高重合时,CA=CB,

∴AB=BC=CA,△ABC是等边三角形.