Question

已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧

Answer 1

解题思路：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；

（2）当θ=[π/2]时，点B₁恰好为AB的中点，所以P为B₁C₁中点，故点C₁到平面APB的距离与点B₁到平面APB的距离相等．

（3）由于二面角D-AB-B₁为直二面角，故只要考查二面角P-AB-B₁是否为[π/4]即可．

（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．

由于AB=πr=π，AD=π，所以这实际上是一个正方形．

所以曲线Γ的长度为BD=

2π．

（2）当θ=[π/2]时，点B₁恰好为AB的中点，所以P为B₁C₁中点，

故点C₁到平面APB的距离与点B₁到平面APB的距离相等．

连接AP、BP，OP．

由AB⊥B₁P且AB⊥A₁B₁知：AB⊥平面APB，从而平面A₁B₁P⊥平面APB．

作B₁H⊥OP于H，则B₁H⊥平面APB，所以B₁H即为点B₁到平面APB的距离．

在Rt△OB₁P中，OB1＝1，B1P＝

BB1＝

π

2，

所以OP＝

12+(

π

2)2＝

π2+4

2．

于是：B1H＝

OB1×B1P

OP＝

1×

π

2

π2+4

2＝

π

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．