Question

设函数f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]（t∈R）的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

解题思路：求出二次函数f（x）的对称轴为直线x=1，图象开口向上，分区间在对称轴的左侧、区间包含对称轴、区间在对称轴的右侧三种情况，分别利用单调性求出函数的最小值，即可得到g（t）的表达式．

f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，所以，其图象的对称轴为直线x=1，且图象开口向上．

①当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t²+1；

②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数f（x）在顶点处取得最小值，即g（t）=f（1）=1；

③当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，

所以g（t）=f（t）=t²-2t+2．

综上可得，g（t）=

t2+1 ，t＜0

1 ，0≤t≤1

t2−2t+2 ，t＞1．

点评：

本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．