1、∵BD⊥CD,∠DCB=45°
∴△BCD是等腰直角三角形
∴BD=CD=4
∴BC=√2CD=4√2
∵CE⊥AB即△BCE是直角三角形
点G为BC中点
∴EG=1/2BC=2√2
2、证明：在线段CF上截取CH=BA,连接DH,
∵BD⊥CD,BE⊥CE,
∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠DCF,
∵DB=CD,BA=CH,
∴△ABD≌△HCD,
∴AD=DH,∠ADB=∠HDC,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=45°,
∴∠HDC=45°,
∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°,
∴∠ADB=∠HDB,
∵AD=HD,DF=DF,
∴△ADF≌△HDF,
∴AF=HF,
∴CF=CH+HF=AB+AF,
∴CF=AB+AF．
（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M,
∵△BFE和△CFD中,
∠BEF=∠CDF=90°,∠BFE=∠CFD,
∴∠MBD=∠FCD,
∵△BCD中∠DCB=45°,BD⊥CD,
∴BD=CD,
△BMD和△CFD中,
∵BD=CD,∠BDM=∠CDF=90°,∠MBD=∠FCD,
∴△BMD≌△CFD,
∴CF=BM=AB+AM,DM=DF,
∵AD∥BC,∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°,
∴∠ADM=∠ADF=45°,
∴△AFD≌△AMD,
∴AM=AF,
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF,即CF=AB+AF．
3、 ∵ADBC
∴∠ADB=45°
∴AB²=AD²+BD²-2AD×BD×cos45°
=（√2）²+4²-2×√2×4×√2/2
=2+16-8
=10
∴AB=√10