解法一:
用加边法
D =
1 b1 b2 ...bn
0 1+a1+b1 a1+b2 ...a1+bn
0 a2+b1 1+a2+b2 ...a2+bn
......
0 an+b1 an+b2 ...1+an+bn
ri-r1,i=2,3,...,n --所有行减第1行
1 b1 b2 ...bn
-1 1+a1 a1 ...a1
-1 a2 1+a2 ...a2
......
-1 an an ...1+an
再加边 D=
1 0 1 1 ...1
0 1 b1 b2 ...bn
0 -1 1+a1 a1 ...a1
0 -1 a2 1+a2 ...a2
......
0 -1 an an ...1+an
r3-a1r1,r4-a2r1,...,rn+2 - anr1
1 0 1 1 ...1
0 1 b1 b2 ...bn
-a1 -1 1 0 ...0
-a2 -1 0 1 ...0
......
-an -1 0 0 ...1
第3列乘 a1 加到第1列
第4列乘 a2 加到第1列
...
第n+2列乘 an 加到第1列
1+∑ai 0 1 1 ...1
∑aibi 1 b1 b2 ...bn
0 -1 1 0 ...0
0 -1 0 1 ...0
......
0 -1 0 0 ...1
将3到n+2列加到第2列
1+∑ai n 1 1 ...1
∑aibi 1+∑bi b1 b2 ...bn
0 0 1 0 ...0
0 0 0 1 ...0
......
0 0 0 0 ...1
D = (1+∑ai)(1+∑bi)-n∑aibi
= (1+a1+...+an)(a+b1+...+bn) - n(a1b1+...+anbn).
解法二
这个矩阵具有E+XY^T的形式,其中
X =
a1 1
a2 1
...
an 1
Y =
1 b1
1 b2
...
1 bn
利用det(E+XY^T) = det(E+Y^TX)即可转化到2阶行列式搜索
原理(取A=E,B=Y^T,C=-X,D=E)
M=
A B
C D
形式的分块矩阵,其中A和D是可逆方阵,可以用消去法证明
det(M) = det(A)det(D-CA^-1B) = det(D)det(A-BD^-1C)