Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，且f′（x）=2f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则1+sin2xcos2x

Answer 1

解题思路：求出原函数的导函数，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx与cosx的关系，同时求出sin²x的值，化简要求解的分式，最后把sin²x的值代入即可．

因为函数f（x）=sinx+cosx，所以f^′（x）=cosx-sinx，

由f′（x）=2f（x），得：cosx-sinx=2sinx+2cosx，即cosx=-3sinx，

所以

1+sin2x

cos2x−sin2x＝

1+sin2x

1−sin2x−2sinx•cosx＝

1+sin2x

1−sin2x−2sinx(−3sinx)

=

1+sin2x

1+5sin2x①．

由cosx=-3sinx，得：cos²x=9sin²x，代入sin²x+cos²x=1，得：sin2x＝

1

10②．

把②代入①得：

1+sin2x

1+5sin2x＝

11

15．

所以，则

1+sin2x

cos2x−sin2x=[11/15]．

故答案为[11/15]．

点评：

本题考点： 导数的运算；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评： 本题考查了导数的运算，考查了同角三角函数的基本关系式，考查了学生的运算能力，解答的关键是化为同角同名的三角函数求解，此题是基础题．