正余弦定理试题?1,已知△ABC中,cosA=4/5 (a-2):b:(c+2)=1:2:3,判断△ABC形状2,证明(

1个回答

  • 1.由(a-2):b:(c+2)=1:2:3设a-2=t,b=2t,c+2=3t,(t>0)

    即:a=t+2,b=2t,c=3t-2

    由余弦定理得:cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

    所以:[(2t)²+(3t-2)²-(t+2)²]/[2*(2t)*(3t-2)]=4/5

    解得:t=4

    则:a=6,b=8,c=10,

    有:a²+b²=c²

    所以△ABC是直角三角形,其中∠C是直角.

    2(1)由余弦定理得:2bc=(b²+c²-a²)/cosA,2ac=(a²+c²-b²)/cosB,

    所以:(a²-b²-c²)tanA+(a²-b²+c²)tanB

    =-(b²+c²-a²)sinA/cosA+(a²+c²-b²)sinB/cosB

    =-2bcsinA+2acsinB

    =-2(bcsinA-acsinB)

    又由三角形面积公式得:

    S=bcsinA/2=acsinB/2

    即:bcsinA-acsinB=0

    所以:(a²-b²-c²)tanA+(a²-b²+c²)tanB=0

    2(2)cos2A/a²-cos2B/b²

    =(1-2sin²A)/a²-(1-2sin²B)/b²

    =1/a²-1/b²+2(sin²B/b²-sin²A/a²) (*)

    由正弦定理得:a/sinA=b/sinB,即:sin²A/a²=sin²B/b²

    则:sin²B/b²-sin²A/a²=0

    所以由(*)可证得:

    cos2A/a²-cos2B/b²=1/a²-1/b²