1.由(a-2):b:(c+2)=1:2:3设a-2=t,b=2t,c+2=3t,(t>0)
即：a=t+2,b=2t,c=3t-2
由余弦定理得：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
所以：[(2t)²+(3t-2)²-(t+2)²]/[2*(2t)*(3t-2)]=4/5
解得：t=4
则：a=6,b=8,c=10,
有：a²+b²=c²
所以△ABC是直角三角形,其中∠C是直角.
2(1)由余弦定理得：2bc=(b²+c²-a²)/cosA,2ac=(a²+c²-b²)/cosB,
所以：(a²-b²-c²)tanA+(a²-b²+c²)tanB
=-(b²+c²-a²)sinA/cosA+(a²+c²-b²)sinB/cosB
=-2bcsinA+2acsinB
=-2(bcsinA-acsinB)
又由三角形面积公式得：
S=bcsinA/2=acsinB/2
即：bcsinA-acsinB=0
所以：(a²-b²-c²)tanA+(a²-b²+c²)tanB=0
2(2)cos2A/a²-cos2B/b²
=(1-2sin²A)/a²-(1-2sin²B)/b²
=1/a²-1/b²+2(sin²B/b²-sin²A/a²) （*)
由正弦定理得：a/sinA=b/sinB,即：sin²A/a²=sin²B/b²
则：sin²B/b²-sin²A/a²＝0
所以由（*）可证得：
cos2A/a²-cos2B/b²=1/a²-1/b²