Question

在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）根据逆命题的要求直接写出逆命题即可．

（2）根据逆命题的条件推出公比q的值，然后验证结论是否成立．

（1）在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，则S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

（2）数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．由题意知：2a_m+2=a_m+a_m+1

即2•a₁•q^m+1=a₁•q^m-1+a₁•q^m∵a₁≠0，q≠0，∴2q²-q-1=0，∴q＝1或q＝−

1

2

当q=1时，有S_m=ma₁，S_m+2=（m+2）a₁，S_m+1=（m+1）a₁，

显然：2S_m+2≠S_m+S_m+1．此时逆命题为假．

当q＝−

1

2时，有2Sm+2＝

2a1(1−(−

1

2)m+2)

1+

1

2＝

4

3a1[1−(−

1

2)m+2]，Sm+Sm+1＝

a1(1−(−

1

2)m)

1+

1

2+

2a1(1−(−

1

2)m+)

1+

1

2＝

4

3a1[1−(−

1

2)m+2]

∴2S_m+2=S_m+S_m+1，此时逆命题为真．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题是中档题，考查数列的基本知识，命题与逆命题的关系，考查计算能力，常考题型．