解题思路：根据题意，设左式为Sn，即设
S
n
＝
C
0
n
+3
C
1
n
+5
C
2
n
+…+(2n+1)
C
n
n
为①式，由二项式系数的性质并将①式倒序可得
S
n
＝(2n+1)
C
0
n
+(2n−1)
C
1
n
+…+3
C
n−1
n
+
C
n
n
②，将①、②相加可得
2
S
n
＝(2n+2)(
C
0
n
+
C
1
n
+…+
C
n−1
n
+
C
n
n
)＝2(n+1)•
2
n
，对其整理变形可得证明．
证明：设Sn＝
C0n+3
C1n+5
C2n+…+(2n+1)
Cnn①
把①式右边倒转过来得Sn＝(2n+1)
Cnn+(2n−1)
Cn−1n+…+3
C1n+
C0n，
又由
Cmn＝
Cn−mn可得Sn＝(2n+1)
C0n+(2n−1)
C1n+…+3
Cn−1n+
Cnn②
①+②得2Sn＝(2n+2)(
C0n+
C1n+…+
Cn−1n+
Cnn)＝2(n+1)•2n，
∴Sn＝(n+1)•2n，
即：
C0n+3
C1n+5
C2n+…+(2n+1)
Cnn＝(n+1)2n，
原等式得证．
点评：
本题考点： 二项式系数的性质；数列的求和．
考点点评： 本题考查二项式系数性质的运用，解题的关键是要充分利用二项式系数的性质，如Cmn＝Cn−mn，并结合数列的知识进行分析计算．