Question

设函数f(x)＝xsinx，x∈[−π2，π2]，若f(x1)＞f(x2)，则下列不等式一定成立的是（　　）

Answer 1

解题思路：由f（-x）=-x•sin（-x）=f（x）⇒f（x）=xsinx为偶函数，f′（x）=sinx+xcosx，当x∈[0，[π/2]]⇒f′（x）＞0⇒f（x）单调递增，

⇒

x∈[−

π

2

，0]

时，f（x）单调递减；于是f（x₁）＞f（x₂）⇔|x₁|＞|x₂|⇔x₁²＞x₂²，问题解决了．

∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），

∴函数f（x）=xsinx为偶函数，又f′（x）=sinx+xcosx，

∴x∈[0，

π

2]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，x∈[−

π

2，0]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；

∴f（x₁）＞f（x₂）⇔f（|x₁|）＞f（|x₂|）⇔|x₁|＞|x₂|⇔x₁²＞x₂²，

故选B．

点评：

本题考点： 正弦函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数单调性的判断与证明，难点在于“f（x）=xsinx在x∈[0，[π/2]]时f（x）单调递增”的证明（导数法）及偶函数性质的综合应用（f（x1）＞f（x2）⇔|x1|＞|x2|），属于难题．