解题思路：（1）先求函数的定义域，再研究f（x）的单调性，从而求f（x）的最大值．
（2）先设g（x）=x2-mf（x）=x2-m（mlnx+x）（x∈（0，+∞）），利用导数得到g（x）的最小值，再把方程mf（x）=x2有唯一的一个实数解，转化为g（x）的最小值等于0，即可得到正数m的取值范围．
（1）f（x）=lnx−
1
4x2−
1
2x∴f′（x）=[1/x−
1
2x−
1
2＝−
(x+2)(x−1)
2x]
由f′（x）=0且x＞0得x=1
X （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 -
f （ x ） ↗ -[3/4] ↘∴f（x）的最大值是f（1）=-[3/4]；
（2）设g（x）=x2-m（mlnx+x）（x∈（0，+∞））
则g′(x)＝2x−
m2
x−m＝
(2x+m)(x−m)
x
令g′（x）=0，由于m＞0，解得x=m
x （0，m ） m （m，+∞）
f′（x） - 0 +
f （ x ） ↘ g（m） ↗∴g（x）的最小值是g（m）=m2-m（mlnm+m）=-m2lnm
∵方程mf（x）=x2有唯一的一个实数解，
∴m=1
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性、极值、最值、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．