Question

已知定义在R + 上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时

Answer 1

（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2，

令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3，

则f（8）=-3；

（2）设0＜x ₁＜x ₂＜+∞，则

x 2

x 1 ＞1，则f（

x 2

x 1 ）＜0，

f（x ₂）-f（x ₁）=f（

x 2

x 1 •x ₁）-f（x ₁）=f（

x 2

x 1 ）＜0，

即f（x ₂）＜f（x ₁），

则f（x）在（0，+∞）为减函数，

（3）f（2 ^x+2）-f（2 ^x-4）＜-3，即f（2 ^x+2）-f（2 ^x-4）＜f（8），

f（2 ^x+2）＜f（2 ^x-4）+f（8）=f[8•（2 ^x-4）]，

又由f（x）在（0，+∞）为减函数，

∴

2 x+2 ＞8•( 2 x -4)

( 2 x -4)＞0 解得：2＜x＜3

故2＜x＜3．