Question

若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x2-y2=1总有公共点，则b的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得（1-k²）x²-2k（b-2k）x-（b-2k）²-1=0，△=4k²（b-2k）²+4（1-k²）[（b-2k）²+1]=4[3（k-2b×[1/3]3）²+b²+1-4b²×[1/3]]，不论k取何值，△≥0，所以

b

2

3

≤1，由此能求出b的取值范围．

把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得：

x²-[k（x-2）+b]²=1，

（1-k²）x²-2k（b-2k）x-（b-2k）²-1=0，

△=4k²（b-2k）²+4（1-k²）[（b-2k）²+1]

=4（1-k²）+4（b-2k）²

=4[3k²-4bk+b²+1]

=4[3（k-2b×[1/3]3）²+b²+1-4b²×[1/3]]，

不论k取何值，△≥0

b²+1-4b²×[1/3]≥0

∴

b2

3≤1，

b²≤3，

-

3≤b≤

3．

故答案为：[-

3，

3]．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查直线与双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式的合理运用．