Question

定义在（-∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，如果f（x）=lg（10

Answer 1

解题思路：利用函数的奇偶性构造出关于奇函数g（x）和 偶函数h（x）的方程或方程组，进行求解即可得出g（x）与h（x）．

由已知

g(x)+h(x)＝lg(10x+1)

g(−x)+h(−x)＝lg(10−x+1)

即

g(x)+h(x)＝lg(10x+1)

−g(x)+h(x)＝lg(10−x+1)

解得g（x）=[1/2][lg（10^x+1）-lg（10^-x+1）]，h（x）=[1/2][lg（10^x+1）+lg（10^-x+1）]．

由上g（x）与h（x）的表达式分别为

g（x）=[1/2][lg（10^x+1）-lg（10^-x+1）]，h（x）=[1/2][lg（10^x+1）+lg（10^-x+1）]．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 考查利用奇函数与偶函数的性质灵活变形．