n(n的平方-1)(3n+2)
=n(n-1)(n+1)(3n+2)
24=2*2*2*3
先证是8的倍数
假设n是奇数
(n-1)(n+1)是2的来源
假设n=4k+1
(n-1)(n+1)=4k*(4k+2)=8k(2k+1),8的倍数
n=4k+3
(n-1)(n+1)=(4k+2)*(4k+4)=8(2k+1)(k+1),8的倍数
n是偶数
n(3n+2)是2的来源
n=4k
n(3n+2)=4k(12k+2)=8k(6k+1),8的倍数
n=4k+2
n(3n+2)=(4k+2)(12k+8)=8(2k+1)(3k+2),8的倍数
所以是8的倍数
下证是3的倍数
若n=3k
n(n-1)(n+1)(3n+2)显然是3的倍数
n=3k+1,
n-1是3的倍数,n(n-1)(n+1)(3n+2)是3的倍数
n=3k+2
n+1是3的倍数,n(n-1)(n+1)(3n+2)是3的倍数
综上,n(n-1)(n+1)(3n+2)是3和8的倍数
所以n(n的平方-1)(3n+2)能被24整除