已知函数
(
,
为自然对数的底数).
(1)若曲线
在点
处的切线平行于
轴,求
的值;
(2)求函数
的极值;
(3)当
的值时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.
(1）
.；(2)当
时，函数
无极小值；当
，
在
处取得极小值
，无极大值.；(3)
的最大值为
.
试题分析：(1)由于曲线
在点
处的切线平行于
轴，所以
.求导解方程即可得
的值.(2)由于函数中含参数
，故需要分情况讨论.求导得：
，分情况求出函数的单调区间即可得函数的极值；(3)当
时，
.直线
:
与曲线
没有公共点等价于关于
的方程
在
上没有实数解.一般地考虑分离参数
.即变形为：
(*)在
上没有实数解.当
时，方程(*)可化为
，在
上没有实数解.当
时，方程(*)化为
.令
，利用导数求出
的取值范围即可得
的取值范围.
试题解析：(1)由
,得
.
又曲线
在点
处的切线平行于
轴,
得
,即
,解得
.